Contoh soal matematika kelas x smk semester 1

Menguasai Matematika Kelas X SMK Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, memegang peranan krusial dalam membentuk dasar pemikiran logis dan analitis siswa, terutama di jenjang SMK. Memahami konsep matematika di semester awal kelas X adalah kunci untuk keberhasilan di jenjang selanjutnya, baik dalam studi maupun dalam dunia kerja yang semakin mengedepankan kemampuan pemecahan masalah. Artikel ini akan menyajikan panduan komprehensif beserta contoh soal matematika kelas X SMK semester 1, yang mencakup topik-topik penting yang umumnya diajarkan. Tujuannya adalah untuk memberikan pemahaman yang mendalam dan strategi efektif dalam menghadapi berbagai tipe soal.

Topik-Topik Kunci Matematika Kelas X SMK Semester 1

Semester pertama kelas X SMK biasanya berfokus pada beberapa pilar utama matematika yang menjadi fondasi untuk topik-topik yang lebih kompleks. Berikut adalah topik-topik yang paling sering dijumpai:

1. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Konsep eksponen, aturan-aturan perpangkatan, serta operasi pada bilangan irasional.
2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear: Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan satu variabel, serta aplikasinya dalam masalah sehari-hari.
3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV): Pengertian, metode penyelesaian (substitusi, eliminasi, grafik), dan penerapannya.
4. Fungsi Linear: Pengertian fungsi, notasi, domain, kodomain, range, grafik fungsi linear, serta gradien.
5. Logaritma: Pengertian, sifat-sifat logaritma, dan penyelesaian persamaan logaritma.

Mari kita selami lebih dalam masing-masing topik beserta contoh soalnya.

1. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Konsep bilangan berpangkat memungkinkan kita untuk menyederhanakan perkalian berulang. Bentuk akar, di sisi lain, adalah kebalikan dari perpangkatan. Memahami sifat-sifatnya sangat penting untuk menyederhanakan ekspresi.

Sifat-sifat Penting:

• $a^m cdot a^n = a^m+n$
• $a^m / a^n = a^m-n$
• $(a^m)^n = a^m cdot n$
• $(a cdot b)^m = a^m cdot b^m$
• $(a / b)^m = a^m / b^m$
• $a^0 = 1$ (untuk $a neq 0$)
• $a^-n = 1 / a^n$
• $sqrta = a^1/n$
• $sqrta^m = a^m/n$

Contoh Soal 1:

Sederhanakan bentuk $left(frac2a^3b^-24a^-1b^4right)^-2$!

Pembahasan:

Pertama, sederhanakan ekspresi di dalam kurung:
$frac2a^3b^-24a^-1b^4 = frac24 cdot fraca^3a^-1 cdot fracb^-2b^4$
$= frac12 cdot a^3 – (-1) cdot b^-2 – 4$
$= frac12 cdot a^4 cdot b^-6$
$= fraca^42b^6$

Selanjutnya, pangkatkan hasil ini dengan $-2$:
$left(fraca^42b^6right)^-2 = left(fraca^42b^6right)^frac1-2$
Menggunakan sifat $(a/b)^m = a^m / b^m$ dan $(a^m)^n = a^m cdot n$:
$= frac(a^4)^-2(2b^6)^-2$
$= fraca^4 cdot (-2)2^-2 cdot (b^6)^-2$
$= fraca^-82^-2 cdot b^6 cdot (-2)$
$= fraca^-82^-2 cdot b^-12$

Menggunakan sifat $a^-n = 1/a^n$:
$= frac1/a^81/2^2 cdot 1/b^12$
$= frac1a^8 cdot frac2^2 b^121$
$= frac4b^12a^8$

Jadi, bentuk sederhananya adalah $frac4b^12a^8$.

2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan linear melibatkan variabel dengan pangkat tertinggi satu. Pertidaksamaan linear memiliki hubungan ketidaksamaan ($leq$, $geq$, $<$, $>$).

Contoh Soal 2:

Sebuah toko elektronik menjual dua jenis headset dengan harga Rp50.000 dan Rp75.000 per unit. Jika total pendapatan dari penjualan kedua jenis headset tersebut pada suatu hari adalah Rp1.500.000 dan jumlah total unit yang terjual adalah 25 unit, tentukan berapa unit masing-masing jenis headset yang terjual!

Pembahasan:

Misalkan:
$x$ = jumlah unit headset jenis pertama (Rp50.000)
$y$ = jumlah unit headset jenis kedua (Rp75.000)

Dari informasi soal, kita dapat membentuk dua persamaan linear:

1. Jumlah total unit: $x + y = 25$
2. Total pendapatan: $50000x + 75000y = 1500000$

Untuk menyederhanakan persamaan kedua, kita bisa membagi seluruhnya dengan 25.000:
$2x + 3y = 60$

Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear:
(1) $x + y = 25$
(2) $2x + 3y = 60$

Kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari gunakan eliminasi:
Kalikan persamaan (1) dengan 2 agar koefisien $x$ sama:
$2(x + y) = 2(25) implies 2x + 2y = 50$ (Persamaan 3)

Kurangkan Persamaan (3) dari Persamaan (2):
$(2x + 3y) – (2x + 2y) = 60 – 50$
$y = 10$

Substitusikan nilai $y=10$ ke Persamaan (1):
$x + 10 = 25$
$x = 25 – 10$
$x = 15$

Jadi, terjual 15 unit headset jenis pertama dan 10 unit headset jenis kedua.

3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV adalah sekumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki dua variabel.

Contoh Soal 3:

Harga 3 buku tulis dan 2 pensil adalah Rp15.000. Harga 2 buku tulis dan 5 pensil adalah Rp18.000. Berapakah harga 1 buku tulis dan 1 pensil?

Pembahasan:

Misalkan:
$b$ = harga 1 buku tulis
$p$ = harga 1 pensil

Dari informasi soal, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:

1. $3b + 2p = 15000$
2. $2b + 5p = 18000$

Mari kita gunakan metode substitusi. Dari persamaan (1), kita bisa menyatakan $b$ dalam $p$:
$3b = 15000 – 2p$
$b = frac15000 – 2p3$

Substitusikan nilai $b$ ini ke persamaan (2):
$2left(frac15000 – 2p3right) + 5p = 18000$
Kalikan kedua sisi dengan 3 untuk menghilangkan penyebut:
$2(15000 – 2p) + 3(5p) = 3(18000)$
$30000 – 4p + 15p = 54000$
$11p = 54000 – 30000$
$11p = 24000$
$p = frac2400011$

Tunggu, tampaknya ada masalah dengan angka dalam soal ini karena hasilnya tidak bulat. Mari kita revisi angkanya agar lebih masuk akal untuk konteks soal.

Revisi Contoh Soal 3:

Harga 3 buku tulis dan 2 pensil adalah Rp11.000. Harga 2 buku tulis dan 5 pensil adalah Rp16.000. Berapakah harga 1 buku tulis dan 1 pensil?

Pembahasan (dengan angka revisi):

Misalkan:
$b$ = harga 1 buku tulis
$p$ = harga 1 pensil

Sistem persamaan linear:

1. $3b + 2p = 11000$
2. $2b + 5p = 16000$

Menggunakan metode eliminasi:
Kalikan persamaan (1) dengan 2: $6b + 4p = 22000$ (Persamaan 3)
Kalikan persamaan (2) dengan 3: $6b + 15p = 48000$ (Persamaan 4)

Kurangkan Persamaan (3) dari Persamaan (4):
$(6b + 15p) – (6b + 4p) = 48000 – 22000$
$11p = 26000$
$p = frac2600011$

Masih belum bulat. Mari kita coba lagi untuk membuat angkanya lebih mudah.

Revisi Kedua Contoh Soal 3:

Harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp12.000. Harga 4 buku tulis dan 1 pensil adalah Rp16.000. Berapakah harga 1 buku tulis dan 1 pensil?

Pembahasan (dengan angka revisi kedua):

Misalkan:
$b$ = harga 1 buku tulis
$p$ = harga 1 pensil

Sistem persamaan linear:

1. $2b + 3p = 12000$
2. $4b + p = 16000$

Menggunakan metode eliminasi:
Kalikan persamaan (1) dengan 2: $4b + 6p = 24000$ (Persamaan 3)

Kurangkan Persamaan (2) dari Persamaan (3):
$(4b + 6p) – (4b + p) = 24000 – 16000$
$5p = 8000$
$p = frac80005$
$p = 1600$

Substitusikan nilai $p=1600$ ke Persamaan (2):
$4b + 1600 = 16000$
$4b = 16000 – 1600$
$4b = 14400$
$b = frac144004$
$b = 3600$

Jadi, harga 1 buku tulis adalah Rp3.600 dan harga 1 pensil adalah Rp1.600.

4. Fungsi Linear

Fungsi linear menggambarkan hubungan antara dua variabel di mana perubahan pada satu variabel menghasilkan perubahan yang proporsional pada variabel lain.

Konsep Kunci:

• Domain: Himpunan semua nilai input (variabel bebas, biasanya $x$).
• Kodomain: Himpunan semua nilai output yang mungkin.
• Range: Himpunan semua nilai output yang sebenarnya dihasilkan oleh fungsi.
• Gradien ($m$): Kemiringan garis, menunjukkan seberapa curam garis tersebut. $m = fracDelta yDelta x = fracy_2 – y_1x_2 – x_1$.
• Persamaan Fungsi Linear: $f(x) = mx + c$ atau $y = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien dan $c$ adalah titik potong sumbu y.

Contoh Soal 4:

Sebuah perusahaan taksi mengenakan tarif awal Rp5.000 dan tarif per kilometer Rp3.000.
a. Tuliskan fungsi yang menyatakan biaya perjalanan taksi berdasarkan jarak tempuh (dalam kilometer).
b. Berapa biaya untuk perjalanan sejauh 15 kilometer?
c. Jika seseorang membayar Rp65.000, berapa jarak yang ditempuh?

Pembahasan:

a. Misalkan $J$ adalah jarak tempuh dalam kilometer, dan $B(J)$ adalah biaya perjalanan.
Tarif awal (konstanta) adalah Rp5.000.
Tarif per kilometer adalah Rp3.000.
Maka, fungsi biayanya adalah:
$B(J) = 3000J + 5000$

b. Untuk menghitung biaya perjalanan sejauh 15 kilometer, substitusikan $J=15$ ke dalam fungsi:
$B(15) = 3000(15) + 5000$
$B(15) = 45000 + 5000$
$B(15) = 50000$
Jadi, biaya untuk perjalanan sejauh 15 kilometer adalah Rp50.000.

c. Jika seseorang membayar Rp65.000, kita perlu mencari nilai $J$ ketika $B(J) = 65000$:
$65000 = 3000J + 5000$
$65000 – 5000 = 3000J$
$60000 = 3000J$
$J = frac600003000$
$J = 20$
Jadi, jarak yang ditempuh adalah 20 kilometer.

5. Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jika $a^b = c$, maka $log_a c = b$.

Sifat-sifat Penting:

• $log_a 1 = 0$
• $log_a a = 1$
• $log_a (M cdot N) = log_a M + log_a N$
• $log_a (M / N) = log_a M – log_a N$
• $log_a M^p = p log_a M$
• $log_a b = fraclog_c blog_c a$ (Perubahan basis)

Contoh Soal 5:

Sederhanakan ekspresi berikut:
a. $log_2 8 + log_2 4$
b. $log_3 27 – log_3 9$
c. $2 log_5 10 – log_5 4$

Pembahasan:

a. $log_2 8 + log_2 4$
Kita tahu bahwa $2^3 = 8$, jadi $log_2 8 = 3$.
Kita tahu bahwa $2^2 = 4$, jadi $log_2 4 = 2$.
Maka, $log_2 8 + log_2 4 = 3 + 2 = 5$.

Atau menggunakan sifat:
$log_2 8 + log_2 4 = log_2 (8 cdot 4) = log_2 32$.
Karena $2^5 = 32$, maka $log_2 32 = 5$.

b. $log_3 27 – log_3 9$
Kita tahu bahwa $3^3 = 27$, jadi $log_3 27 = 3$.
Kita tahu bahwa $3^2 = 9$, jadi $log_3 9 = 2$.
Maka, $log_3 27 – log_3 9 = 3 – 2 = 1$.

Atau menggunakan sifat:
$log_3 27 – log_3 9 = log_3 (27 / 9) = log_3 3$.
Karena $log_a a = 1$, maka $log_3 3 = 1$.

c. $2 log_5 10 – log_5 4$
Gunakan sifat $log_a M^p = p log_a M$ pada suku pertama:
$2 log_5 10 = log_5 10^2 = log_5 100$.

Sekarang ekspresinya menjadi:
$log_5 100 – log_5 4$

Gunakan sifat $log_a (M / N) = log_a M – log_a N$:
$log_5 100 – log_5 4 = log_5 (100 / 4) = log_5 25$.

Karena $5^2 = 25$, maka $log_5 25 = 2$.
Jadi, hasil sederhananya adalah 2.

Tips Tambahan untuk Sukses Matematika Kelas X SMK

1. Pahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal rumus. Usahakan untuk memahami logika di balik setiap rumus dan konsep.
2. Latihan Rutin: Matematika adalah keterampilan yang diasah melalui latihan. Kerjakan soal-soal latihan secara teratur, mulai dari yang mudah hingga yang sulit.
3. Jangan Takut Bertanya: Jika ada materi yang tidak dipahami, segera tanyakan kepada guru atau teman yang mengerti.
4. Buat Catatan yang Rapi: Catat definisi, sifat-sifat, dan contoh soal yang penting. Ini akan sangat membantu saat mengulang materi.
5. Gunakan Sumber Belajar Beragam: Selain buku teks, manfaatkan sumber belajar online, video tutorial, atau buku referensi lain.
6. Kerjakan Soal Ujian Semester Sebelumnya: Ini adalah cara yang sangat efektif untuk memahami format soal dan tingkat kesulitan yang diharapkan.
7. Istirahat yang Cukup: Belajar dengan kondisi fisik dan mental yang prima akan membuat proses belajar lebih efektif.

Kesimpulan

Menguasai materi matematika kelas X SMK semester 1 adalah langkah fundamental untuk membangun fondasi yang kuat dalam pemahaman matematika. Dengan memahami konsep-konsep dasar bilangan berpangkat dan bentuk akar, persamaan dan pertidaksamaan linear, SPLDV, fungsi linear, serta logaritma, siswa SMK akan lebih siap menghadapi tantangan di jenjang berikutnya. Kunci utamanya adalah latihan yang konsisten, pemahaman konsep yang mendalam, dan kemauan untuk terus belajar. Semoga contoh-contoh soal dan tips yang disajikan dalam artikel ini dapat membantu para siswa SMK meraih keberhasilan dalam pembelajaran matematika mereka.

>