Contoh soal matematika kelas x smk semester 1 kurikulum 2013

Menguasai Konsep Dasar Matematika SMK: Contoh Soal dan Pembahasan Semester 1 Kurikulum 2013

Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, memegang peranan krusial dalam membentuk pola pikir logis, analitis, dan pemecahan masalah. Bagi siswa Sekolah Menengah Kejuruan (SMK), pemahaman yang kuat terhadap konsep matematika dasar tidak hanya penting untuk kelancaran studi mereka, tetapi juga untuk bekal mereka memasuki dunia kerja di masa depan. Kurikulum 2013, yang menekankan pada pembelajaran aktif dan penerapan konsep, menghadirkan berbagai materi yang relevan dengan kebutuhan dunia industri.

Pada semester 1 kelas X SMK, fokus pembelajaran matematika biasanya meliputi beberapa topik fundamental yang menjadi fondasi untuk materi-materi selanjutnya. Topik-topik ini dirancang untuk membekali siswa dengan kemampuan berpikir abstrak, memanipulasi simbol, dan menginterpretasikan data. Artikel ini akan menyajikan contoh-contoh soal matematika kelas X SMK semester 1 berdasarkan Kurikulum 2013, lengkap dengan pembahasan mendalam untuk membantu siswa memahami konsep dan strategi penyelesaiannya.

Topik Utama dalam Matematika Kelas X SMK Semester 1 (Kurikulum 2013)

Sebelum kita menyelami contoh soal, mari kita tinjau kembali topik-topik utama yang umumnya dibahas dalam semester 1 kelas X SMK berdasarkan Kurikulum 2013:

1. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Meliputi sifat-sifat bilangan berpangkat bulat, bilangan berpangkat rasional, operasi bilangan berpangkat, serta penyederhanaan bentuk akar dan operasi bilangan dalam bentuk akar.
2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel: Membahas penyelesaian persamaan linear satu variabel, aplikasi persamaan linear dalam masalah kontekstual, serta penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel.
3. Fungsi Linear: Meliputi pengertian fungsi, notasi fungsi, nilai fungsi, serta menggambar grafik fungsi linear.
4. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV): Membahas pengertian SPLDV, metode penyelesaian SPLDV (substitusi, eliminasi, gabungan), serta aplikasi SPLDV dalam masalah kontekstual.

Mari kita mulai dengan contoh-contoh soal yang mencakup topik-topik tersebut.

>

Contoh Soal dan Pembahasan

Bagian 1: Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Soal 1:
Sederhanakan bentuk $frac(2x^3y^-2)^24x^2y^3$!

Pembahasan:
Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat.
Langkah 1: Terapkan sifat $(a^m)^n = a^m times n$ pada pembilang.
$(2x^3y^-2)^2 = 2^2 times (x^3)^2 times (y^-2)^2 = 4 times x^3 times 2 times y^-2 times 2 = 4x^6y^-4$

Langkah 2: Substitusikan kembali ke dalam ekspresi awal.
$frac4x^6y^-44x^2y^3$

Langkah 3: Sederhanakan dengan membagi koefisien dan menggunakan sifat $fraca^ma^n = a^m-n$.
$frac44 times x^6-2 times y^-4-3 = 1 times x^4 times y^-7$

Langkah 4: Ubah bentuk $y^-7$ menjadi $frac1y^7$ berdasarkan sifat $a^-n = frac1a^n$.
$x^4 times frac1y^7 = fracx^4y^7$

Jadi, bentuk sederhana dari $frac(2x^3y^-2)^24x^2y^3$ adalah $fracx^4y^7$.

Soal 2:
Rasionalkan penyebut dari $frac32 – sqrt5$!

Pembahasan:
Untuk merasionalkan penyebut yang berbentuk $a – sqrtb$ atau $a + sqrtb$, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya. Konjugat dari $2 – sqrt5$ adalah $2 + sqrt5$.

Langkah 1: Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat.
$frac32 – sqrt5 times frac2 + sqrt52 + sqrt5$

Langkah 2: Lakukan perkalian pada pembilang.
$3 times (2 + sqrt5) = 6 + 3sqrt5$

Langkah 3: Lakukan perkalian pada penyebut menggunakan sifat $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$.
$(2 – sqrt5)(2 + sqrt5) = 2^2 – (sqrt5)^2 = 4 – 5 = -1$

Langkah 4: Gabungkan hasil pembilang dan penyebut.
$frac6 + 3sqrt5-1$

Langkah 5: Sederhanakan.
$-(6 + 3sqrt5) = -6 – 3sqrt5$

Jadi, bentuk rasional dari $frac32 – sqrt5$ adalah $-6 – 3sqrt5$.

>

Bagian 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Soal 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear $3(x – 2) + 5 = 2x + 11$!

Pembahasan:
Langkah 1: Distribusikan koefisien pada bagian kiri persamaan.
$3x – 6 + 5 = 2x + 11$

Langkah 2: Sederhanakan kedua sisi persamaan.
$3x – 1 = 2x + 11$

Langkah 3: Kumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di satu sisi dan konstanta di sisi lain. Pindahkan $2x$ ke kiri menjadi $-2x$ dan $-1$ ke kanan menjadi $+1$.
$3x – 2x = 11 + 1$

Langkah 4: Selesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan.
$x = 12$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan linear tersebut adalah $12$.

Soal 4:
Seorang pedagang menjual mangga dengan harga Rp15.000 per kg dan jeruk dengan harga Rp10.000 per kg. Jumlah uang yang diterima pedagang dari penjualan mangga dan jeruk adalah Rp200.000. Jika berat mangga yang terjual adalah 2 kg lebih banyak dari berat jeruk, tentukan berat mangga dan jeruk yang terjual.

Pembahasan:
Misalkan:
$m$ = berat mangga yang terjual (dalam kg)
$j$ = berat jeruk yang terjual (dalam kg)

Dari soal, kita dapat membentuk dua persamaan linear:

1. Persamaan berdasarkan total uang yang diterima:
   $15000m + 10000j = 200000$
   Kita bisa sederhanakan persamaan ini dengan membagi semua suku dengan 5000:
   $3m + 2j = 40$ (Persamaan 1)

2. Persamaan berdasarkan hubungan berat mangga dan jeruk:
   "Berat mangga yang terjual adalah 2 kg lebih banyak dari berat jeruk"
   $m = j + 2$ (Persamaan 2)

Sekarang kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini menggunakan metode substitusi.

Langkah 1: Substitusikan Persamaan 2 ke dalam Persamaan 1.
$3(j + 2) + 2j = 40$

Langkah 2: Distribusikan dan sederhanakan.
$3j + 6 + 2j = 40$
$5j + 6 = 40$

Langkah 3: Pindahkan konstanta ke kanan.
$5j = 40 – 6$
$5j = 34$

Langkah 4: Selesaikan untuk $j$.
$j = frac345 = 6.8$ kg

Langkah 5: Substitusikan nilai $j$ kembali ke Persamaan 2 untuk mencari $m$.
$m = j + 2$
$m = 6.8 + 2$
$m = 8.8$ kg

Jadi, berat mangga yang terjual adalah 8.8 kg dan berat jeruk yang terjual adalah 6.8 kg.

>

Bagian 3: Fungsi Linear

Soal 5:
Diketahui fungsi $f(x) = 3x – 5$. Tentukan nilai dari $f(4)$ dan $f(-2)$!

Pembahasan:
Untuk menentukan nilai fungsi pada suatu input, kita cukup mengganti variabel $x$ dengan nilai input tersebut.

Langkah 1: Hitung $f(4)$.
Ganti $x$ dengan $4$ dalam rumus fungsi $f(x) = 3x – 5$.
$f(4) = 3(4) – 5$
$f(4) = 12 – 5$
$f(4) = 7$

Langkah 2: Hitung $f(-2)$.
Ganti $x$ dengan $-2$ dalam rumus fungsi $f(x) = 3x – 5$.
$f(-2) = 3(-2) – 5$
$f(-2) = -6 – 5$
$f(-2) = -11$

Jadi, nilai dari $f(4)$ adalah $7$ dan nilai dari $f(-2)$ adalah $-11$.

Soal 6:
Gambarkan grafik dari fungsi linear $g(x) = 2x + 4$!

Pembahasan:
Untuk menggambar grafik fungsi linear, kita memerlukan minimal dua titik yang dilalui oleh grafik tersebut. Cara termudah adalah dengan mencari titik potong sumbu-x dan sumbu-y, atau dengan memilih dua nilai $x$ sembarang dan mencari nilai $y$ yang bersesuaian.

Langkah 1: Cari titik potong sumbu-y.
Titik potong sumbu-y terjadi ketika $x = 0$.
$g(0) = 2(0) + 4 = 0 + 4 = 4$
Jadi, titik potong sumbu-y adalah $(0, 4)$.

Langkah 2: Cari titik potong sumbu-x.
Titik potong sumbu-x terjadi ketika $g(x) = 0$.
$0 = 2x + 4$
$-4 = 2x$
$x = frac-42 = -2$
Jadi, titik potong sumbu-x adalah $(-2, 0)$.

Langkah 3: Plot kedua titik tersebut pada bidang Kartesius.
Titik A: $(0, 4)$
Titik B: $(-2, 0)$

Langkah 4: Tarik garis lurus yang menghubungkan kedua titik tersebut. Perpanjang garis tersebut ke kedua arah.

Grafik dari fungsi $g(x) = 2x + 4$ akan berupa garis lurus yang naik dari kiri ke kanan, memotong sumbu-y di titik $(0, 4)$ dan memotong sumbu-x di titik $(-2, 0)$.

>

Bagian 4: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Soal 7:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode eliminasi:

1. $2x + 3y = 16$
2. $x – y = 2$

Pembahasan:
Metode eliminasi bertujuan untuk menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan setelah disesuaikan.

Langkah 1: Samakan koefisien salah satu variabel. Kita akan menghilangkan variabel $y$. Kalikan Persamaan 2 dengan 3 agar koefisien $y$ sama dengan koefisien $y$ pada Persamaan 1.
Persamaan 1: $2x + 3y = 16$
Persamaan 2 (dikali 3): $3(x – y) = 3(2) implies 3x – 3y = 6$

Langkah 2: Jumlahkan kedua persamaan yang baru.
$(2x + 3y) + (3x – 3y) = 16 + 6$
$2x + 3x + 3y – 3y = 22$
$5x = 22$

Langkah 3: Selesaikan untuk $x$.
$x = frac225$

Langkah 4: Substitusikan nilai $x$ yang diperoleh ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai $y$. Kita gunakan Persamaan 2 ($x – y = 2$).
$frac225 – y = 2$

Langkah 5: Selesaikan untuk $y$.
$-y = 2 – frac225$
$-y = frac105 – frac225$
$-y = frac10 – 225$
$-y = frac-125$
$y = frac125$

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah $(x, y) = (frac225, frac125)$.

Soal 8:
Di sebuah toko buku, Ani membeli 2 buku tulis dan 3 pensil seharga Rp17.000. Sementara itu, Budi membeli 4 buku tulis dan 1 pensil seharga Rp26.000. Berapakah harga 1 buku tulis dan 1 pensil?

Pembahasan:
Misalkan:
$b$ = harga 1 buku tulis (dalam Rupiah)
$p$ = harga 1 pensil (dalam Rupiah)

Dari informasi soal, kita dapat membentuk sistem persamaan linear dua variabel:

1. Ani membeli 2 buku tulis dan 3 pensil seharga Rp17.000:
   $2b + 3p = 17000$ (Persamaan 1)

2. Budi membeli 4 buku tulis dan 1 pensil seharga Rp26.000:
   $4b + p = 26000$ (Persamaan 2)

Kita akan menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan SPLDV ini.

Langkah 1: Ubah Persamaan 2 untuk menyatakan $p$ dalam bentuk $b$.
$p = 26000 – 4b$

Langkah 2: Substitusikan ekspresi untuk $p$ ke dalam Persamaan 1.
$2b + 3(26000 – 4b) = 17000$

Langkah 3: Distribusikan dan sederhanakan.
$2b + 78000 – 12b = 17000$
$-10b + 78000 = 17000$

Langkah 4: Pindahkan konstanta ke kanan.
$-10b = 17000 – 78000$
$-10b = -61000$

Langkah 5: Selesaikan untuk $b$.
$b = frac-61000-10$
$b = 6100$

Jadi, harga 1 buku tulis adalah Rp6.100.

Langkah 6: Substitusikan nilai $b$ kembali ke ekspresi untuk $p$.
$p = 26000 – 4b$
$p = 26000 – 4(6100)$
$p = 26000 – 24400$
$p = 1600$

Jadi, harga 1 pensil adalah Rp1.600.

Kesimpulan: Harga 1 buku tulis adalah Rp6.100 dan harga 1 pensil adalah Rp1.600.

>

Penutup

Menguasai materi matematika di semester 1 kelas X SMK merupakan langkah awal yang penting untuk kesuksesan akademik selanjutnya. Contoh-contoh soal yang telah dibahas mencakup topik-topik fundamental seperti bilangan berpangkat, persamaan dan pertidaksamaan linear, fungsi linear, serta sistem persamaan linear dua variabel. Dengan memahami konsep di balik setiap soal dan berlatih secara konsisten, siswa diharapkan mampu meningkatkan kemampuan pemecahan masalah dan kepercayaan diri dalam menghadapi berbagai tantangan matematika.

Ingatlah bahwa matematika adalah sebuah proses. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru, berdiskusi dengan teman, dan mencari sumber belajar tambahan jika ada materi yang belum dipahami sepenuhnya. Semoga artikel ini dapat menjadi panduan yang bermanfaat dalam perjalanan belajar matematika Anda di SMK. Selamat belajar!