Contoh soal matematika minat kelas 11 semester 1

Menguasai Puncak Matematika: Contoh Soal dan Pembahasan Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 1

Matematika Peminatan di kelas 11 merupakan jembatan penting menuju pemahaman konsep-konsep matematika yang lebih mendalam dan kompleks. Semester pertama kelas 11 biasanya berfokus pada topik-topik yang membangun fondasi kuat untuk studi matematika di jenjang selanjutnya, seperti Fungsi Eksponensial dan Logaritma, serta Trigonometri Lanjutan. Menguasai materi ini tidak hanya penting untuk kelulusan, tetapi juga untuk membekali diri dengan kemampuan berpikir logis, analitis, dan pemecahan masalah yang esensial di berbagai bidang.

Artikel ini akan menyajikan berbagai contoh soal Matematika Peminatan kelas 11 semester 1, beserta pembahasan mendalam untuk setiap soal. Tujuannya adalah agar siswa dapat memahami berbagai tipe soal, strategi penyelesaian, serta poin-poin penting yang perlu diperhatikan. Dengan latihan yang terarah, diharapkan pemahaman siswa akan semakin kokoh dan kepercayaan diri dalam menghadapi ujian semakin meningkat.

Bagian 1: Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Fungsi eksponensial dan logaritma adalah dua konsep yang saling terkait erat dan memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, mulai dari pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, hingga perhitungan bunga. Memahami sifat-sifat dan cara menyelesaikan persamaan serta pertidaksamaan yang melibatkan fungsi-fungsi ini sangatlah krusial.

Contoh Soal 1: Menentukan Nilai Fungsi Eksponensial

Jika $f(x) = 3^x+1 – 2$, tentukan nilai dari $f(2)$ dan $f(-1)$.

Pembahasan:

Untuk menentukan nilai fungsi pada titik tertentu, kita hanya perlu mengganti variabel $x$ dengan nilai yang diberikan.

• Mencari $f(2)$:
  Ganti $x$ dengan 2 pada fungsi $f(x) = 3^x+1 – 2$.
  $f(2) = 3^2+1 – 2$
  $f(2) = 3^3 – 2$
  $f(2) = 27 – 2$
  $f(2) = 25$

• Mencari $f(-1)$:
  Ganti $x$ dengan -1 pada fungsi $f(x) = 3^x+1 – 2$.
  $f(-1) = 3^-1+1 – 2$
  $f(-1) = 3^0 – 2$
  Ingat bahwa setiap bilangan (selain nol) yang dipangkatkan nol hasilnya adalah 1.
  $f(-1) = 1 – 2$
  $f(-1) = -1$

Jadi, nilai dari $f(2)$ adalah 25 dan nilai dari $f(-1)$ adalah -1.

Contoh Soal 2: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponensial $5^2x-1 = frac1125$.

Pembahasan:

Langkah pertama dalam menyelesaikan persamaan eksponensial adalah membuat basis kedua ruas sama. Kita tahu bahwa $125 = 5^3$.

Persamaan: $5^2x-1 = frac1125$

Ubah $frac1125$ menjadi bentuk pangkat dengan basis 5:
$frac1125 = frac15^3 = 5^-3$

Sekarang persamaan menjadi:
$5^2x-1 = 5^-3$

Karena basisnya sudah sama, kita dapat menyamakan eksponennya:
$2x – 1 = -3$

Selesaikan persamaan linear untuk mencari nilai $x$:
$2x = -3 + 1$
$2x = -2$
$x = frac-22$
$x = -1$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $-1$.

Contoh Soal 3: Menyelesaikan Pertidaksamaan Eksponensial

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponensial $2^3x+2 > 16$.

Pembahasan:

Sama seperti persamaan eksponensial, kita perlu membuat basis kedua ruas sama. Kita tahu bahwa $16 = 2^4$.

Pertidaksamaan: $2^3x+2 > 16$

Ubah 16 menjadi bentuk pangkat dengan basis 2:
$16 = 2^4$

Sekarang pertidaksamaan menjadi:
$2^3x+2 > 2^4$

Karena basisnya (yaitu 2) lebih besar dari 1, arah tanda pertidaksamaan tetap sama ketika kita menyamakan eksponennya:
$3x + 2 > 4$

Selesaikan pertidaksamaan linear untuk mencari nilai $x$:
$3x > 4 – 2$
$3x > 2$
$x > frac23$

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $x $.

Contoh Soal 4: Mengubah Bentuk Logaritma

Jika $log_2 3 = a$ dan $log_2 5 = b$, nyatakan $log_2 45$ dalam bentuk $a$ dan $b$.

Pembahasan:

Kita perlu memfaktorkan angka 45 menjadi perkalian dari 3 dan 5, serta mengaitkannya dengan basis logaritma (yaitu 2).

$45 = 9 times 5 = 3^2 times 5$

Menggunakan sifat logaritma $log_c (MN) = log_c M + log_c N$:
$log_2 45 = log_2 (3^2 times 5)$
$log_2 45 = log_2 (3^2) + log_2 5$

Menggunakan sifat logaritma $log_c M^p = p log_c M$:
$log_2 45 = 2 log_2 3 + log_2 5$

Karena diketahui $log_2 3 = a$ dan $log_2 5 = b$, substitusikan nilai-nilai tersebut:
$log_2 45 = 2a + b$

Jadi, $log_2 45$ dapat dinyatakan sebagai $2a + b$.

Contoh Soal 5: Menyelesaikan Persamaan Logaritma

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma $log_3 (x+2) + log_3 (x-4) = 2$.

Pembahasan:

Langkah pertama adalah menggabungkan logaritma menggunakan sifat $log_c M + log_c N = log_c (MN)$.

Persamaan: $log_3 (x+2) + log_3 (x-4) = 2$

Gabungkan logaritma:
$log_3 ((x+2)(x-4)) = 2$

Ubah persamaan logaritma ke bentuk eksponensial. Ingat bahwa $log_c M = N$ setara dengan $c^N = M$.
$(x+2)(x-4) = 3^2$
$(x+2)(x-4) = 9$

Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk:
$x^2 – 4x + 2x – 8 = 9$
$x^2 – 2x – 8 = 9$
$x^2 – 2x – 8 – 9 = 0$
$x^2 – 2x – 17 = 0$

Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus ABC ($x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$). Dalam kasus ini, $a=1$, $b=-2$, dan $c=-17$.

Diskriminan $Delta = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4(1)(-17) = 4 + 68 = 72$.
$x = frac-(-2) pm sqrt722(1)$
$x = frac2 pm sqrt36 times 22$
$x = frac2 pm 6sqrt22$
$x = 1 pm 3sqrt2$

Jadi, kita memiliki dua solusi potensial: $x_1 = 1 + 3sqrt2$ dan $x_2 = 1 – 3sqrt2$.

Penting: Dalam menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus selalu memeriksa apakah solusi yang diperoleh memenuhi domain dari logaritma. Argumen logaritma harus selalu positif.

• Untuk $log_3 (x+2)$, kita perlu $x+2 > 0$, yang berarti $x > -2$.
• Untuk $log_3 (x-4)$, kita perlu $x-4 > 0$, yang berarti $x > 4$.

Kedua kondisi ini harus terpenuhi, sehingga kita perlu $x > 4$.

Sekarang kita periksa kedua solusi:

• $x_1 = 1 + 3sqrt2$. Karena $sqrt2 approx 1.414$, maka $3sqrt2 approx 4.242$. Jadi, $x_1 approx 1 + 4.242 = 5.242$. Nilai ini lebih besar dari 4, sehingga memenuhi syarat.
• $x_2 = 1 – 3sqrt2 approx 1 – 4.242 = -3.242$. Nilai ini lebih kecil dari 4 (bahkan lebih kecil dari -2), sehingga tidak memenuhi syarat.

Oleh karena itu, hanya $x_1 = 1 + 3sqrt2$ yang merupakan solusi valid.

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma tersebut adalah $1 + 3sqrt2$.

Bagian 2: Trigonometri Lanjutan

Trigonometri lanjutan di kelas 11 mencakup identitas trigonometri, persamaan trigonometri, dan penerapan konsep-konsep ini dalam berbagai konteks, termasuk pada segitiga dan lingkaran.

Contoh Soal 6: Menyederhanakan Ekspresi Trigonometri

Sederhanakan ekspresi $fracsin(2x)1+cos(2x)$.

Pembahasan:

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri sudut ganda.
Identitas yang relevan adalah:

• $sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)$
• $cos(2x) = 2cos^2(x) – 1$

Substitusikan identitas ini ke dalam ekspresi:
$fracsin(2x)1+cos(2x) = frac2 sin(x) cos(x)1 + (2cos^2(x) – 1)$

Sederhanakan penyebutnya:
$1 + 2cos^2(x) – 1 = 2cos^2(x)$

Jadi, ekspresi menjadi:
$frac2 sin(x) cos(x)2cos^2(x)$

Sekarang, kita bisa menyederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $2cos(x)$ (dengan asumsi $cos(x) neq 0$):
$fraccancel2 sin(x) cancelcos(x)cancel2cos^cancel2(x) = fracsin(x)cos(x)$

Kita tahu bahwa $fracsin(x)cos(x) = tan(x)$.

Jadi, ekspresi yang disederhanakan adalah $tan(x)$.

Contoh Soal 7: Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

Tentukan nilai $x$ dalam interval $[0^circ, 360^circ)$ yang memenuhi persamaan $sin(x) = frac12$.

Pembahasan:

Kita mencari sudut $x$ di mana nilai sinusnya adalah $frac12$. Sudut istimewa yang memiliki nilai sinus $frac12$ adalah $30^circ$.

1. Kuadran I: Di kuadran I, sinus bernilai positif. Jadi, solusi pertama adalah sudut itu sendiri.
   $x_1 = 30^circ$.

2. Kuadran II: Di kuadran II, sinus juga bernilai positif. Sudut di kuadran II yang memiliki nilai sinus yang sama dengan sudut di kuadran I adalah $180^circ – textsudut acuan$.
   $x_2 = 180^circ – 30^circ = 150^circ$.

Kedua solusi ini berada dalam interval $[0^circ, 360^circ)$.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $30^circ$ dan $150^circ$.

Contoh Soal 8: Menggunakan Identitas untuk Membuktikan

Buktikan identitas trigonometri $fractan(x) + sin(x)cot(x) + cos(x) = tan(x) sec(x)$.

Pembahasan:

Kita akan membuktikan identitas ini dengan memulai dari salah satu sisi (biasanya yang lebih kompleks) dan mengubahnya menjadi sisi lainnya, atau mengubah kedua sisi secara terpisah menjadi bentuk yang sama. Mari kita ubah sisi kiri.

Sisi Kiri: $fractan(x) + sin(x)cot(x) + cos(x)$

Ubah $tan(x)$ menjadi $fracsin(x)cos(x)$ dan $cot(x)$ menjadi $fraccos(x)sin(x)$:
$= fracfracsin(x)cos(x) + sin(x)fraccos(x)sin(x) + cos(x)$

Samakan penyebut di pembilang dan penyebut:
Pembilang: $fracsin(x)cos(x) + fracsin(x)cos(x)cos(x) = fracsin(x) + sin(x)cos(x)cos(x) = fracsin(x)(1+cos(x))cos(x)$
Penyebut: $fraccos(x)sin(x) + fraccos(x)sin(x)sin(x) = fraccos(x) + cos(x)sin(x)sin(x) = fraccos(x)(1+sin(x))sin(x)$

Sekarang, gabungkan kembali menjadi bentuk pecahan:
$= fracfracsin(x)(1+cos(x))cos(x)fraccos(x)(1+sin(x))sin(x)$

Kalikan dengan kebalikan dari penyebut:
$= fracsin(x)(1+cos(x))cos(x) times fracsin(x)cos(x)(1+sin(x))$
$= fracsin^2(x)(1+cos(x))cos^2(x)(1+sin(x))$

Ini belum terlihat mengarah ke sisi kanan. Mari kita coba pendekatan lain dari sisi kiri, yaitu memfaktorkan $sin(x)$ dan $cos(x)$ di pembilang dan penyebut.

Sisi Kiri: $fractan(x) + sin(x)cot(x) + cos(x)$

Faktorkan $sin(x)$ di pembilang: $sin(x) (frac1cos(x) + 1) = sin(x) (sec(x) + 1)$
Faktorkan $cos(x)$ di penyebut: $cos(x) (frac1sin(x) + 1) = cos(x) (csc(x) + 1)$

Jadi, sisi kiri menjadi:
$= fracsin(x) (sec(x) + 1)cos(x) (csc(x) + 1)$
$= tan(x) fracsec(x) + 1csc(x) + 1$

Ini juga belum sesuai. Mari kita coba identitas sudut ganda atau identitas dasar lagi.
Kembali ke:
$fractan(x) + sin(x)cot(x) + cos(x)$

Ubah menjadi $sin$ dan $cos$:
$= fracfracsin xcos x + sin xfraccos xsin x + cos x$
$= fracsin x (frac1cos x + 1)cos x (frac1sin x + 1)$
$= fracsin x (frac1+cos xcos x)cos x (frac1+sin xsin x)$
$= fracsin x (1+cos x)cos x times fracsin xcos x (1+sin x)$
$= fracsin^2 x (1+cos x)cos^2 x (1+sin x)$

Kita tahu $1+cos x$ dan $1+sin x$ sulit disederhanakan. Coba gunakan identitas $sin^2 x = 1 – cos^2 x$.
$= frac(1-cos^2 x)(1+cos x)cos^2 x (1+sin x)$
$= frac(1-cos x)(1+cos x)(1+cos x)cos^2 x (1+sin x)$

Ini juga masih rumit. Mari kita lihat sisi kanan: $tan(x) sec(x) = fracsin(x)cos(x) times frac1cos(x) = fracsin(x)cos^2(x)$.
Sepertinya ada kesalahan dalam soal, atau identitasnya perlu dicermati kembali.

Mari kita asumsikan identitas yang benar adalah $fractan(x) + sin(x)cot(x) + cos(x) = tan(x)$.
Jika demikian, maka:
$fracsin(x) (1+cos x)cos(x) / fraccos(x) (1+sin x)sin x$
$= fracsin x (1+cos x)cos x times fracsin xcos x (1+sin x)$
$= fracsin^2 x (1+cos x)cos^2 x (1+sin x)$

Ini belum mengarah ke $tan(x)$.

Mari kita coba ubah $cot(x) + cos(x)$ menjadi sesuatu yang lebih sederhana.
$cot(x) + cos(x) = fraccos(x)sin(x) + cos(x) = cos(x) (frac1sin(x) + 1) = cos(x) (csc(x) + 1)$.

Dan $tan(x) + sin(x) = sin(x) (sec(x) + 1)$.

Jadi, $fracsin(x) (sec(x) + 1)cos(x) (csc(x) + 1) = tan(x) fracsec(x) + 1csc(x) + 1$.

Jika sisi kanan adalah $tan(x)$, maka kita harus membuktikan bahwa $fracsec(x) + 1csc(x) + 1 = 1$. Ini jelas salah.

Kembali ke identitas yang diberikan: $fractan(x) + sin(x)cot(x) + cos(x) = tan(x) sec(x)$.
Sisi kanan: $tan(x) sec(x) = fracsin xcos x cdot frac1cos x = fracsin xcos^2 x$.

Mari kita coba memanipulasi sisi kiri lagi dengan lebih hati-hati.
$fractan x + sin xcot x + cos x = fracfracsin xcos x + sin xfraccos xsin x + cos x$
$= fracsin x (frac1cos x + 1)cos x (frac1sin x + 1)$
$= fracsin x (frac1+cos xcos x)cos x (frac1+sin xsin x)$
$= fracsin x (1+cos x)cos x cdot fracsin xcos x (1+sin x)$
$= fracsin^2 x (1+cos x)cos^2 x (1+sin x)$

Mari kita gunakan identitas sudut ganda untuk $sin(2x)$ dan $cos(2x)$ karena kadang-kadang identitas tersebut muncul secara implisit.
Namun, di sini tidak ada $2x$.

Jika kita menggunakan identitas setengah sudut:
$tan(fracx2) = fracsin x1+cos x = frac1-cos xsin x$.
Dan $cot(fracx2) = frac1+cos xsin x = fracsin x1-cos x$.

Ini tidak terlihat relevan.

Mari kita coba ubah penyebutnya:
$cot(x) + cos(x) = fraccos xsin x + cos x = fraccos x + cos x sin xsin x = fraccos x (1+sin x)sin x$.

Dan pembilangnya:
$tan(x) + sin(x) = fracsin xcos x + sin x = fracsin x + sin x cos xcos x = fracsin x (1+cos x)cos x$.

Sehingga,
$fracfracsin x (1+cos x)cos xfraccos x (1+sin x)sin x = fracsin x (1+cos x)cos x times fracsin xcos x (1+sin x) = fracsin^2 x (1+cos x)cos^2 x (1+sin x)$.

Sekarang, mari kita lihat sisi kanan lagi: $tan(x) sec(x) = fracsin xcos^2 x$.

Jika kita ingin membuktikan $fracsin^2 x (1+cos x)cos^2 x (1+sin x) = fracsin xcos^2 x$, maka kita harus membuktikan:
$fracsin x (1+cos x)1+sin x = 1$
$sin x (1+cos x) = 1+sin x$
$sin x + sin x cos x = 1+sin x$
$sin x cos x = 1$.
Ini jelas tidak benar untuk semua $x$.

Kesimpulan untuk Soal 8: Ada kemungkinan kesalahan dalam penulisan identitas yang perlu dibuktikan. Namun, proses menunjukkan bagaimana menggunakan identitas dasar untuk memanipulasi ekspresi trigonometri. Jika identitasnya benar, maka proses pembuktiannya akan melibatkan manipulasi aljabar yang lebih rumit atau penggunaan identitas yang lebih spesifik.

Contoh Soal 9: Aplikasi Trigonometri pada Segitiga

Dalam segitiga $ABC$, diketahui panjang sisi $a = 5$, $b = 7$, dan sudut $gamma = 60^circ$. Tentukan panjang sisi $c$.

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan aturan kosinus. Aturan kosinus menghubungkan panjang ketiga sisi sebuah segitiga dengan kosinus salah satu sudutnya.

Rumus aturan kosinus adalah: $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos(gamma)$.

Diketahui:
$a = 5$
$b = 7$
$gamma = 60^circ$

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
$c^2 = 5^2 + 7^2 – 2(5)(7) cos(60^circ)$
$c^2 = 25 + 49 – 2(35) (frac12)$
$c^2 = 74 – 70 (frac12)$
$c^2 = 74 – 35$
$c^2 = 39$

Untuk mencari panjang sisi $c$, kita ambil akar kuadrat dari $c^2$:
$c = sqrt39$

Jadi, panjang sisi $c$ adalah $sqrt39$.

Contoh Soal 10: Penerapan Fungsi Trigonometri pada Gelombang

Sebuah gelombang sinusoidal dapat dinyatakan dengan fungsi $y(t) = 5 sin(2pi t + fracpi3)$, di mana $y$ adalah simpangan dalam meter dan $t$ adalah waktu dalam detik. Tentukan amplitudo, periode, dan simpangan gelombang pada saat $t = 0.25$ detik.

Pembahasan:

Bentuk umum dari fungsi gelombang sinusoidal adalah $y(t) = A sin(omega t + phi)$, di mana:

• $A$ adalah amplitudo (simpangan maksimum)
• $omega$ adalah frekuensi sudut
• $phi$ adalah fasor awal (sudut fase awal)

Dari fungsi yang diberikan $y(t) = 5 sin(2pi t + fracpi3)$:

• Amplitudo: Amplitudo adalah nilai mutlak dari koefisien sinus, yaitu $A = 5$ meter.

• Periode: Periode ($T$) gelombang berkaitan dengan frekuensi sudut ($omega$) melalui rumus $T = frac2piomega$.
  Dalam kasus ini, $omega = 2pi$.
  Maka, $T = frac2pi2pi = 1$ detik.

• Simpangan pada $t = 0.25$ detik: Substitusikan $t = 0.25$ ke dalam fungsi gelombang:
  $y(0.25) = 5 sin(2pi (0.25) + fracpi3)$
  $y(0.25) = 5 sin(fracpi2 + fracpi3)$

  Untuk menjumlahkan sudut, samakan penyebutnya:
  $fracpi2 + fracpi3 = frac3pi6 + frac2pi6 = frac5pi6$

  Jadi, $y(0.25) = 5 sin(frac5pi6)$.

  Nilai $sin(frac5pi6)$: Sudut $frac5pi6$ berada di kuadran II. Nilai sinusnya sama dengan $sin(pi – frac5pi6) = sin(fracpi6)$.
  $sin(fracpi6) = frac12$.

  Maka, $y(0.25) = 5 times frac12 = frac52 = 2.5$ meter.

Jadi, amplitudo gelombang adalah 5 meter, periode gelombang adalah 1 detik, dan simpangan gelombang pada saat $t = 0.25$ detik adalah 2.5 meter.

>

Penutup

Contoh-contoh soal di atas mencakup beberapa topik kunci dalam Matematika Peminatan kelas 11 semester 1. Dengan memahami konsep dasar, sifat-sifat, dan strategi penyelesaian yang disajikan, siswa diharapkan dapat membangun pondasi yang kuat. Ingatlah bahwa kunci utama dalam menguasai matematika adalah latihan yang konsisten dan pemahaman mendalam terhadap setiap langkah penyelesaian. Teruslah berlatih, jangan ragu untuk bertanya, dan selalu jaga semangat belajar Anda!