Contoh soal matematika pas kelas x semster 1

Menguasai Matematika PAS Kelas X Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan

Penilaian Akhir Semester (PAS) Matematika untuk kelas X semester 1 merupakan momen krusial bagi setiap siswa. PAS ini tidak hanya mengukur pemahaman materi yang telah dipelajari selama satu semester, tetapi juga menjadi penentu awal perjalanan mereka dalam mendalami dunia matematika di jenjang SMA. Materi yang disajikan biasanya mencakup konsep-konsep fundamental yang akan menjadi dasar bagi topik-topik yang lebih kompleks di semester berikutnya dan tahun-tahun mendatang.

Oleh karena itu, persiapan yang matang sangatlah penting. Artikel ini hadir untuk membantu Anda, para siswa kelas X, dalam menghadapi PAS Matematika semester 1. Kita akan mengupas tuntas berbagai jenis soal yang kemungkinan besar akan muncul, dilengkapi dengan contoh soal yang representatif dan pembahasan mendalam. Dengan memahami pola soal dan strategi penyelesaiannya, Anda akan merasa lebih percaya diri dan siap untuk meraih hasil terbaik.

Ruang Lingkup Materi Matematika Kelas X Semester 1

Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita ingat kembali cakupan materi utama yang biasanya diujikan dalam PAS Matematika kelas X semester 1. Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah, topik-topik umum yang seringkali dibahas meliputi:

1. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel: Konsep dasar persamaan dan pertidaksamaan, cara penyelesaiannya, serta aplikasi dalam soal cerita.
2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel: Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), metode penyelesaian (substitusi, eliminasi, grafik), dan penerapannya.
3. Fungsi Linear: Pengertian fungsi, notasi fungsi, domain, kodomain, range, grafik fungsi linear, serta menentukan gradien dan persamaan garis.
4. Konsep Nilai Mutlak: Pengertian nilai mutlak, sifat-sifatnya, serta penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak.
5. Program Linear: Pengertian program linear, fungsi tujuan, kendala, menentukan daerah penyelesaian, dan mencari nilai optimum (maksimum/minimum).

Mari kita selami beberapa contoh soal yang mewakili setiap topik ini, lengkap dengan langkah-langkah penyelesaiannya.

>

Contoh Soal dan Pembahasan

Bagian 1: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear:
$3(x – 2) + 5 = 2x + 7$

Pembahasan:

Tujuan kita adalah mengisolasi variabel $x$ di satu sisi persamaan.

• Langkah 1: Distribusikan koefisien ke dalam kurung.
  $3x – 6 + 5 = 2x + 7$

• Langkah 2: Gabungkan suku-suku sejenis di sisi kiri.
  $3x – 1 = 2x + 7$

• Langkah 3: Pindahkan suku yang mengandung $x$ ke satu sisi (misalnya, sisi kiri) dan konstanta ke sisi lain (sisi kanan).
  Untuk memindahkan $2x$ ke kiri, kurangi kedua sisi dengan $2x$:
  $3x – 2x – 1 = 2x – 2x + 7$
  $x – 1 = 7$

  Untuk memindahkan $-1$ ke kanan, tambahkan kedua sisi dengan $1$:
  $x – 1 + 1 = 7 + 1$
  $x = 8$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $8$.

Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear:
$2(x + 1) – 3 > 5x – 10$

Pembahasan:

Penyelesaian pertidaksamaan serupa dengan persamaan, namun kita perlu berhati-hati saat mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan negatif (arah tanda pertidaksamaan akan berbalik).

• Langkah 1: Distribusikan koefisien ke dalam kurung.
  $2x + 2 – 3 > 5x – 10$

• Langkah 2: Gabungkan suku-suku sejenis di sisi kiri.
  $2x – 1 > 5x – 10$

• Langkah 3: Pindahkan suku yang mengandung $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain.
  Kurangi kedua sisi dengan $2x$:
  $2x – 2x – 1 > 5x – 2x – 10$
  $-1 > 3x – 10$

  Tambahkan kedua sisi dengan $10$:
  $-1 + 10 > 3x – 10 + 10$
  $9 > 3x$

• Langkah 4: Bagi kedua sisi dengan koefisien $x$ (yaitu 3).
  Karena 3 adalah bilangan positif, arah tanda pertidaksamaan tidak berubah.
  $frac93 > frac3x3$
  $3 > x$

Ini berarti $x$ lebih kecil dari $3$. Himpunan penyelesaiannya dapat ditulis sebagai $x mid x < 3$.

>

Bagian 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Soal 3:

Diketahui sistem persamaan linear dua variabel berikut:
1) $x + 2y = 7$
2) $3x – y = 7$

Tentukan nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi sistem persamaan tersebut menggunakan metode substitusi.

Pembahasan:

Metode substitusi melibatkan mengubah salah satu persamaan untuk menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain, kemudian mensubstitusikannya ke persamaan lainnya.

• Langkah 1: Pilih salah satu persamaan dan ubah untuk menyatakan satu variabel.
  Mari kita pilih persamaan (1) dan ubah untuk menyatakan $x$ dalam bentuk $y$:
  $x = 7 – 2y$

• Langkah 2: Substitusikan ekspresi $x$ ini ke dalam persamaan lainnya (persamaan 2).
  $3(7 – 2y) – y = 7$

• Langkah 3: Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk mencari nilai $y$.
  $21 – 6y – y = 7$
  $21 – 7y = 7$
  $-7y = 7 – 21$
  $-7y = -14$
  $y = frac-14-7$
  $y = 2$

• Langkah 4: Substitusikan nilai $y$ yang telah ditemukan kembali ke salah satu persamaan awal atau ke ekspresi $x$ yang telah dibuat.
  Menggunakan ekspresi $x = 7 – 2y$:
  $x = 7 – 2(2)$
  $x = 7 – 4$
  $x = 3$

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x = 3$ dan $y = 2$.

Soal 4:

Sederhanakan pertidaksamaan linear berikut dan tentukan himpunan penyelesaiannya jika $x$ adalah bilangan real:
$5(x – 1) leq 3(2x + 2)$

Pembahasan:

• Langkah 1: Distribusikan koefisien ke dalam kurung.
  $5x – 5 leq 6x + 6$

• Langkah 2: Pindahkan suku-suku yang mengandung $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain.
  Kurangi kedua sisi dengan $5x$:
  $5x – 5x – 5 leq 6x – 5x + 6$
  $-5 leq x + 6$

  Kurangi kedua sisi dengan $6$:
  $-5 – 6 leq x + 6 – 6$
  $-11 leq x$

Ini berarti $x$ lebih besar dari atau sama dengan $-11$. Himpunan penyelesaiannya adalah $x mid x geq -11$.

>

Bagian 3: Fungsi Linear

Soal 5:

Diketahui fungsi $f(x) = 2x – 3$. Tentukan:
a) Nilai $f(4)$
b) Nilai $x$ jika $f(x) = 9$
c) Tentukan gradien dan titik potong sumbu y dari grafik fungsi tersebut.

Pembahasan:

• a) Nilai $f(4)$:
  Untuk mencari $f(4)$, substitusikan $x = 4$ ke dalam rumus fungsi:
  $f(4) = 2(4) – 3$
  $f(4) = 8 – 3$
  $f(4) = 5$

• b) Nilai $x$ jika $f(x) = 9$:
  Samakan rumus fungsi dengan $9$:
  $2x – 3 = 9$
  $2x = 9 + 3$
  $2x = 12$
  $x = frac122$
  $x = 6$

• c) Gradien dan titik potong sumbu y:
  Bentuk umum fungsi linear adalah $f(x) = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien dan $c$ adalah konstanta yang menunjukkan titik potong sumbu y (yaitu pada koordinat $(0, c)$).
  Dalam fungsi $f(x) = 2x – 3$:

  • Gradien ($m$) adalah $2$.
  • Titik potong sumbu y adalah pada nilai $c = -3$, sehingga koordinatnya adalah $(0, -3)$.

Soal 6:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik $(2, 5)$ dan memiliki gradien $-3$.

Pembahasan:

Kita dapat menggunakan rumus persamaan garis dengan gradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1)$:
$y – y_1 = m(x – x_1)$

Diketahui:

• Titik $(x_1, y_1) = (2, 5)$
• Gradien $m = -3$

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
$y – 5 = -3(x – 2)$

Sekarang, sederhanakan persamaan ini untuk mendapatkan bentuk $y = mx + c$ atau bentuk umum $Ax + By + C = 0$.

$y – 5 = -3x + 6$
$y = -3x + 6 + 5$
$y = -3x + 11$

Jadi, persamaan garisnya adalah $y = -3x + 11$.

>

Bagian 4: Konsep Nilai Mutlak

Soal 7:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan nilai mutlak:
$|2x – 1| = 5$

Pembahasan:

Persamaan nilai mutlak $|A| = B$ memiliki dua kemungkinan solusi: $A = B$ atau $A = -B$.

• Kasus 1: $2x – 1 = 5$
  $2x = 5 + 1$
  $2x = 6$
  $x = frac62$
  $x = 3$

• Kasus 2: $2x – 1 = -5$
  $2x = -5 + 1$
  $2x = -4$
  $x = frac-42$
  $x = -2$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $3$ dan $-2$. Himpunan penyelesaiannya adalah $-2, 3$.

Soal 8:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak:
$|x + 3| leq 4$

Pembahasan:

Pertidaksamaan nilai mutlak $|A| leq B$ dapat diubah menjadi pertidaksamaan gabungan: $-B leq A leq B$.

Dalam kasus ini, $A = x + 3$ dan $B = 4$.
Maka, kita punya:
$-4 leq x + 3 leq 4$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan gabungan ini, kita perlu mengisolasi $x$ di tengah. Lakukan operasi yang sama pada ketiga bagian pertidaksamaan.

• Langkah 1: Kurangi semua bagian dengan 3.
  $-4 – 3 leq x + 3 – 3 leq 4 – 3$
  $-7 leq x leq 1$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x mid -7 leq x leq 1$.

>

Bagian 5: Program Linear

Soal 9:

Seorang pedagang kue menjual dua jenis kue, yaitu kue coklat dan kue keju. Harga jual kue coklat adalah Rp2.000,00 per buah dan kue keju adalah Rp3.000,00 per buah. Modal yang dimiliki pedagang tersebut adalah Rp600.000,00. Untuk membuat kue coklat dibutuhkan modal Rp1.000,00 per buah dan kue keju Rp1.500,00 per buah. Kapasitas produksi maksimum kue coklat adalah 200 buah dan kue keju 300 buah per hari. Jika pedagang tersebut ingin memperoleh keuntungan maksimum, tentukan berapa banyak kue coklat dan kue keju yang harus diproduksi.

Pembahasan:

Ini adalah contoh soal program linear yang umum di mana kita perlu menentukan nilai optimum (dalam hal ini, keuntungan maksimum). Langkah-langkahnya adalah:

1. Definisikan Variabel:
   Misalkan:
   $x$ = jumlah kue coklat yang diproduksi
   $y$ = jumlah kue keju yang diproduksi

2. Tentukan Fungsi Tujuan:
   Keuntungan per buah kue coklat = Harga Jual – Modal = Rp2.000,00 – Rp1.000,00 = Rp1.000,00.
   Keuntungan per buah kue keju = Harga Jual – Modal = Rp3.000,00 – Rp1.500,00 = Rp1.500,00.
   Fungsi tujuan untuk memaksimalkan keuntungan (Z) adalah:
   $Z = 1000x + 1500y$

3. Tentukan Kendala (Batasan):

   • Kendala Modal: Modal untuk $x$ kue coklat adalah $1000x$ dan untuk $y$ kue keju adalah $1500y$. Total modal tidak boleh melebihi Rp600.000,00.
     $1000x + 1500y leq 600000$
     (Disederhanakan dengan membagi 500): $2x + 3y leq 1200$

   • Kendala Kapasitas Produksi Kue Coklat:
     $x leq 200$

   • Kendala Kapasitas Produksi Kue Keju:
     $y leq 300$

   • Kendala Non-negatif: Jumlah kue tidak bisa negatif.
     $x geq 0$
     $y geq 0$

4. Gambarkan Daerah Penyelesaian (DP):
   Gambarlah grafik dari setiap pertidaksamaan kendala. Titik potong antara garis-garis kendala akan membentuk titik-titik sudut dari daerah penyelesaian.

   • Garis $2x + 3y = 1200$: Titik potong sumbu x (jika $y=0$, $2x=1200 Rightarrow x=600$), titik potong sumbu y (jika $x=0$, $3y=1200 Rightarrow y=400$).
   • Garis $x = 200$: Garis vertikal pada $x=200$.
   • Garis $y = 300$: Garis horizontal pada $y=300$.

   Setelah menggambar, daerah penyelesaian adalah area yang memenuhi semua kendala (biasanya dibatasi oleh titik-titik potong garis).

5. Tentukan Titik-Titik Sudut Daerah Penyelesaian:
   Titik-titik sudut yang perlu diuji antara lain:

   • $(0, 0)$
   • Titik potong $x=200$ dengan sumbu x: $(200, 0)$
   • Titik potong $y=300$ dengan sumbu y: $(0, 300)$
   • Titik potong $x=200$ dengan garis $2x + 3y = 1200$:
     $2(200) + 3y = 1200$
     $400 + 3y = 1200$
     $3y = 800$
     $y = 800/3 approx 266.67$. Karena $y$ harus bulat, kita perlu pertimbangkan pembulatan atau batas. Namun, dalam konteks soal, kita sering mengasumsikan bisa memproduksi sebagian, atau mencari titik potong tepatnya. Jika kita harus bulat, maka titik potongnya bisa berbeda. Untuk soal PAS, seringkali titik potongnya menghasilkan bilangan bulat atau kita menggunakan titik potong matematisnya.
     Misalkan titik potongnya adalah $(200, 800/3)$.
   • Titik potong $y=300$ dengan garis $2x + 3y = 1200$:
     $2x + 3(300) = 1200$
     $2x + 900 = 1200$
     $2x = 300$
     $x = 150$. Jadi titiknya adalah $(150, 300)$.

   Titik sudut yang valid adalah $(0,0)$, $(200,0)$, $(200, 800/3)$, dan $(150,300)$.
   Kita perlu memeriksa apakah titik $(200, 800/3)$ memenuhi $y leq 300$. $800/3 approx 266.67$, yang memang $leq 300$.

6. Uji Nilai Fungsi Tujuan di Setiap Titik Sudut:

   • Untuk $(0, 0)$: $Z = 1000(0) + 1500(0) = 0$
   • Untuk $(200, 0)$: $Z = 1000(200) + 1500(0) = 200000$
   • Untuk $(200, 800/3)$: $Z = 1000(200) + 1500(800/3) = 200000 + 500(800) = 200000 + 400000 = 600000$. (Perhatikan bahwa nilai ini bisa jadi tidak bulat jika menggunakan nilai $y$ yang dibulatkan. Untuk soal PAS, biasanya titik potong menghasilkan nilai yang lebih mudah).
   • Untuk $(150, 300)$: $Z = 1000(150) + 1500(300) = 150000 + 450000 = 600000$.

   Re-evaluasi Titik Potong: Dalam soal ini, ada kemungkinan terjadi kesalahan pembulatan atau interpretasi. Mari kita asumsikan soal dirancang agar titik potong menghasilkan bilangan bulat atau mudah dihitung. Jika kita melihat titik $(150, 300)$ dan $(200, 800/3)$, kedua titik tersebut memberikan keuntungan Rp600.000,00. Namun, kita perlu memastikan bahwa $(200, 800/3)$ memenuhi kendala $y leq 300$. $800/3 approx 266.67$, yang memenuhi.
   Jika kita lihat ulang soal dan kendala: $2x+3y leq 1200$, $x leq 200$, $y leq 300$.
   Titik potong antara $x=200$ dan $2x+3y=1200$ adalah $(200, 800/3)$.
   Titik potong antara $y=300$ dan $2x+3y=1200$ adalah $(150, 300)$.
   Kita juga perlu memeriksa titik potong $x=200$ dan $y=300$ jika itu berada dalam daerah penyelesaian. $2(200) + 3(300) = 400 + 900 = 1300$, yang $> 1200$. Jadi $(200, 300)$ bukan titik dalam daerah penyelesaian.

   Jadi titik-titik sudut yang perlu diuji adalah:

   • $(0,0) rightarrow Z=0$
   • $(200,0) rightarrow Z=200000$
   • $(150,300) rightarrow Z=600000$
   • $(200, 800/3) rightarrow Z=1000(200) + 1500(800/3) = 200000 + 400000 = 600000$.

   Dalam kasus ini, nilai maksimum keuntungan adalah Rp600.000,00, yang dicapai pada dua titik sudut yang berbeda: $(150, 300)$ dan $(200, 800/3)$. Ini berarti ada banyak kombinasi produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum.
   Namun, karena jumlah kue harus bilangan bulat, maka kita harus memilih kombinasi yang menghasilkan bilangan bulat.

   • Jika kita memilih $(150, 300)$, maka produksi 150 kue coklat dan 300 kue keju.
   • Jika kita memilih $(200, 800/3)$, ini tidak mungkin karena jumlah kue keju harus bulat.

   Dalam soal program linear dengan hasil optimum, jika ada lebih dari satu titik sudut yang memberikan nilai optimum, maka semua titik pada segmen garis yang menghubungkan kedua titik sudut tersebut juga merupakan solusi optimum. Namun, jika ada kendala bahwa jumlah produk harus bilangan bulat, maka kita perlu mencari titik-titik bulat pada segmen garis tersebut.

   Dalam kasus PAS, biasanya soal dirancang agar titik optimumnya unik atau memiliki solusi bulat yang jelas. Jika kita harus memilih satu jawaban, maka kita perlu melihat apakah ada kendala lain yang terlewat atau konteks soal yang menentukan. Namun, dengan informasi yang ada, kedua titik $(150, 300)$ dan $(200, 800/3)$ memberikan nilai optimum matematis.

   Jika kita harus memberikan satu jawaban bulat, dan kedua titik optimum memberikan nilai yang sama, kita bisa memilih salah satu yang lebih mudah diinterpretasikan. Dalam konteks ini, $(150, 300)$ adalah solusi yang lebih mudah.

   Kesimpulan untuk Soal 9 (dengan asumsi ada solusi bulat yang optimal):
   Pedagang tersebut harus memproduksi 150 kue coklat dan 300 kue keju untuk memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp600.000,00.

>

Tips Tambahan untuk Menghadapi PAS Matematika:

• Pahami Konsep, Bukan Hanya Menghafal Rumus: Matematika dibangun dari pemahaman konsep. Pastikan Anda mengerti mengapa suatu rumus berlaku dan bagaimana mengaplikasikannya.
• Latihan Soal Beragam: Kerjakan berbagai jenis soal, mulai dari yang mudah hingga yang menantang. Gunakan buku paket, LKS, maupun contoh soal PAS dari tahun-tahun sebelumnya.
• Manajemen Waktu: Saat ujian, alokasikan waktu dengan bijak. Kerjakan soal yang Anda kuasai terlebih dahulu, lalu beralih ke soal yang lebih sulit.
• Teliti dalam Menghitung: Kesalahan perhitungan adalah penyebab umum hilangnya poin. Periksa kembali setiap langkah perhitungan Anda.
• Pahami Instruksi Soal: Baca dengan cermat setiap pertanyaan untuk memastikan Anda menjawab apa yang diminta.

Dengan persiapan yang terstruktur dan pemahaman yang kuat terhadap materi, PAS Matematika kelas X semester 1 tidak lagi menjadi momok yang menakutkan. Selamat belajar dan semoga sukses!

>